Районный тур. 3 Декабря 2011 г. 9 класс
Условия задач
1. Веловстречи.
Два велосипедиста одновременно выехали из пунктов А и В навстречу друг другу и встретились через 1 час. После встречи они продолжили свое движение в прежнем направлении. Доехав до пунктов В и А соответственно, они сразу развернулись и поехали обратно. Через какое время, после первой встречи, они опять поравняются друг с другом.
2. Не идеальный вольтметр.
В цепи, изображенной на рисунке, вольтметр измеряет падение напряжения на резисторе сопротивлением R = 300 кОм. Каким может быть сопротивление вольтметра для того чтобы его показания отличались не больше чем на 2 % от допустимого значения Uo. Сопротивление R1 = 100 кОм.
3. 48 ложек воды.
В калориметр вливают ложку горячей воды, при этом его температура возросла на 5 °С. После этого в него влили опять ложку горячей воды и температура поднялась еще на 3 °С. На сколько градусов возрастет температура калориметра, если в него влить еще 48 ложек горячей воды. Теплообменом с окружающей средой пренебречь.
4. Неравноплечий рычаг.
Два тела разных плотностей и объемов подвесили на нитях к краям невесомого стержня, причем равновесие стержня достигается, если его подпереть так, что расстояния от точки опоры до тел отличается в два раза. После того как тела полностью погрузили в воду, для сохранения равновесия стержня пришлось поменять местами тела. Найдите плотности тел, если известно, что их плотности отличаются в 2,5 раза. Плотность воды считать известной ρо.
5. Сообщающийся сосуд.
В сообщающийся сосуд (см. рисунок) налита вода. В левый сосуд налили керосин высотой H1 = 20 см, а в правый − высотой H2 = 1,25H1. На сколько повысился уровень воды в среднем сосуде? Известно, что ρв/ρк = 1,25.
Решение:
№1 Приступил к решению задачи, выполнил рисунок, записал основные формулы (1 балл)
Расстояние между пунктами А и В обозначим как сумму АС + CВ
L = x1 + x2. (2 балла)
Время до первой встречи найдем перейдя в систему отсчета, связанную с одним из велосипедистов
t = L/(v1 + v2). (2 балла)
После первой встречи велосипедисты разъехались, доехав до конечных пунктов, развернулись и вновь встретились в п. D. При этом они проехали расстояние до встречи
x2 + x4 + x1 + x3 = L + L = 2L. (2 балла)
Время до новой встречи
t1 = 2L/(v1 + v2) = 2t. (2 балла)
После первой встречи велосипедисты встретятся через 2 ч. (1 балл)
Всего за задачу 10 баллов.
№2 Приступил к решению задачи, выполнил рисунок, записал основные формулы (1 балл)
При отсутствии вольтметра сопротивления R и R1 соединены последовательно, поэтому падение напряжения на сопротивлении R равно
UR = IR = UR/(R + R1). (2 балла)
При подключении вольтметра он измеряет напряжение на участке, который состоит из параллельно соединенных резистора, сопротивлением R и сопротивления вольтметра RV.
В этом случае ток в цепи
I = U/(R1 + RRV/(R + RV)) (1 балл)
Показание вольтметра
UR/ = U/(R1 + RRV/(R + RV)) × RRV/(R + RV) = URRV/(R1R + R1RV + RRV). (2 балла)
По условию задачи показания вольтметра не должны превышать 2 %
(UR − UR/)/UR ≤ 0,02, (2 балла)
или
1 − RV(R + R1)/(R1R + R1RV + RRV) ≤ 0,02. (1 балл)
Решая последнее неравенство относительно искомого сопротивления вольтметра, получим
RV ≤ 49 × RR1/(R + R1) ≤ 3675 кОм. (1 балл)
Всего за задачу 10 баллов.
№3 Приступил к решению задачи, записал основные формулы (1 балл)
Обозначим Ск − теплоемкость калориметра, Св − теплоемкость одной ложки воды, tв − температура горячей воды и to − начальная температура калориметра.
Запишем уравнение теплового баланса после вливания одной ложки
Ск(to + 5 − to) = Cв(tв − (to + 5)), (1) (2 балла)
После вливания второй ложки
Ск(to + 8 − to) = 2Cв(tв − (to + 8)), (2) (2 балла)
Разделим второе уравнение на первое
(tв − to − 8)/(tв − to − 5) = 4/5.
Откуда tв − to = 20. (1 балл)
Из уравнения теплового баланса (1)
5Cк = 15Св и Cк = 3Св. (1 балл)
После вливания еще 48 ложек горячей воды
Ск(tк − to) = 50Cв(tв − tк), (1 балл)
Откуда
53tк = 50tв + 3to = 53tв − 3(tв − to) или tк = tв − (3/53) × (tв − to). (1 балл)
Искомая разность температур
tк − to = tв − to − (3/53) × (tв − to) = (50/53) × (tв − to) ≈ 18,9 °C. (1 балл)
Всего за задачу 10 баллов.
№4 Приступил к решению задачи, выполнил рисунок, записал основные формулы (1 балл)
Запишем условие равновесия стержня до погружения в воду
ρ1V1 = 2ρ2V2, (1) (2 балла)
после погружения в воду
2(ρ1 − ρo)V1 = (ρ2 − ρo)V2. (2) (2 балла)
Выразим из (1) V1/V2 = 5 (2 балла)
и подставим в (2)
10ρ1 − ρ2 = 9ρo. (2 балла)
Решая это уравнение совместно с условием задачи ρ2/ρ1 = 2,5, находим
ρ1 = 1,2ρo и ρ2 = 3ρo. (1 балл)
Всего за задачу 10 баллов.
№5
Условия задач
1. Веловстречи.
Два велосипедиста одновременно выехали из пунктов А и В навстречу друг другу и встретились через 1 час. После встречи они продолжили свое движение в прежнем направлении. Доехав до пунктов В и А соответственно, они сразу развернулись и поехали обратно. Через какое время, после первой встречи, они опять поравняются друг с другом.
2. Не идеальный вольтметр.
В цепи, изображенной на рисунке, вольтметр измеряет падение напряжения на резисторе сопротивлением R = 300 кОм. Каким может быть сопротивление вольтметра для того чтобы его показания отличались не больше чем на 2 % от допустимого значения Uo. Сопротивление R1 = 100 кОм.
3. 48 ложек воды.
В калориметр вливают ложку горячей воды, при этом его температура возросла на 5 °С. После этого в него влили опять ложку горячей воды и температура поднялась еще на 3 °С. На сколько градусов возрастет температура калориметра, если в него влить еще 48 ложек горячей воды. Теплообменом с окружающей средой пренебречь.
4. Неравноплечий рычаг.
Два тела разных плотностей и объемов подвесили на нитях к краям невесомого стержня, причем равновесие стержня достигается, если его подпереть так, что расстояния от точки опоры до тел отличается в два раза. После того как тела полностью погрузили в воду, для сохранения равновесия стержня пришлось поменять местами тела. Найдите плотности тел, если известно, что их плотности отличаются в 2,5 раза. Плотность воды считать известной ρо.
5. Сообщающийся сосуд.
В сообщающийся сосуд (см. рисунок) налита вода. В левый сосуд налили керосин высотой H1 = 20 см, а в правый − высотой H2 = 1,25H1. На сколько повысился уровень воды в среднем сосуде? Известно, что ρв/ρк = 1,25.
Решение:
№1 Приступил к решению задачи, выполнил рисунок, записал основные формулы (1 балл)
Расстояние между пунктами А и В обозначим как сумму АС + CВ
L = x1 + x2. (2 балла)
Время до первой встречи найдем перейдя в систему отсчета, связанную с одним из велосипедистов
t = L/(v1 + v2). (2 балла)
После первой встречи велосипедисты разъехались, доехав до конечных пунктов, развернулись и вновь встретились в п. D. При этом они проехали расстояние до встречи
x2 + x4 + x1 + x3 = L + L = 2L. (2 балла)
Время до новой встречи
t1 = 2L/(v1 + v2) = 2t. (2 балла)
После первой встречи велосипедисты встретятся через 2 ч. (1 балл)
Всего за задачу 10 баллов.
№2 Приступил к решению задачи, выполнил рисунок, записал основные формулы (1 балл)
При отсутствии вольтметра сопротивления R и R1 соединены последовательно, поэтому падение напряжения на сопротивлении R равно
UR = IR = UR/(R + R1). (2 балла)
При подключении вольтметра он измеряет напряжение на участке, который состоит из параллельно соединенных резистора, сопротивлением R и сопротивления вольтметра RV.
В этом случае ток в цепи
I = U/(R1 + RRV/(R + RV)) (1 балл)
Показание вольтметра
UR/ = U/(R1 + RRV/(R + RV)) × RRV/(R + RV) = URRV/(R1R + R1RV + RRV). (2 балла)
По условию задачи показания вольтметра не должны превышать 2 %
(UR − UR/)/UR ≤ 0,02, (2 балла)
или
1 − RV(R + R1)/(R1R + R1RV + RRV) ≤ 0,02. (1 балл)
Решая последнее неравенство относительно искомого сопротивления вольтметра, получим
RV ≤ 49 × RR1/(R + R1) ≤ 3675 кОм. (1 балл)
Всего за задачу 10 баллов.
№3 Приступил к решению задачи, записал основные формулы (1 балл)
Обозначим Ск − теплоемкость калориметра, Св − теплоемкость одной ложки воды, tв − температура горячей воды и to − начальная температура калориметра.
Запишем уравнение теплового баланса после вливания одной ложки
Ск(to + 5 − to) = Cв(tв − (to + 5)), (1) (2 балла)
После вливания второй ложки
Ск(to + 8 − to) = 2Cв(tв − (to + 8)), (2) (2 балла)
Разделим второе уравнение на первое
(tв − to − 8)/(tв − to − 5) = 4/5.
Откуда tв − to = 20. (1 балл)
Из уравнения теплового баланса (1)
5Cк = 15Св и Cк = 3Св. (1 балл)
После вливания еще 48 ложек горячей воды
Ск(tк − to) = 50Cв(tв − tк), (1 балл)
Откуда
53tк = 50tв + 3to = 53tв − 3(tв − to) или tк = tв − (3/53) × (tв − to). (1 балл)
Искомая разность температур
tк − to = tв − to − (3/53) × (tв − to) = (50/53) × (tв − to) ≈ 18,9 °C. (1 балл)
Всего за задачу 10 баллов.
№4 Приступил к решению задачи, выполнил рисунок, записал основные формулы (1 балл)
Запишем условие равновесия стержня до погружения в воду
ρ1V1 = 2ρ2V2, (1) (2 балла)
после погружения в воду
2(ρ1 − ρo)V1 = (ρ2 − ρo)V2. (2) (2 балла)
Выразим из (1) V1/V2 = 5 (2 балла)
и подставим в (2)
10ρ1 − ρ2 = 9ρo. (2 балла)
Решая это уравнение совместно с условием задачи ρ2/ρ1 = 2,5, находим
ρ1 = 1,2ρo и ρ2 = 3ρo. (1 балл)
Всего за задачу 10 баллов.
№5
